Родился 21 ноября (3 декабря) 1898 г. в с.Брынчаги (ныне - Переславский р-н, Ярославская обл.)
В начале 1917 г. призывается в Русскую императорскую армию.
15.04.1918 г. добровольцем уходит в РККА.
После окончания службы учится на военно-политических курсах в Харькове и в Коммунистическом университете им.Я.М.Свердлова.
Затем направляется в Вятку (г.Киров), где с 1924 по 1925 г. руководит кондитерской фабрикой. В 1925-1929 на партийной работе.
В 1929 г. зачислен в Ленинградский технологический институт, однако тема обучения ему кажется неинтересной и он добивается перевода на машиностроительный факультет Ленинградского политехнического института.
В 1934 г. защищает диплом по специальности «инженер-механик по конструированию автомобилей и тракторов», тема дипломной работы «Коробка переменных передач среднего танка».
В конце 1936 г. направляется в Харьков на ХПЗ им.Коминтерна (№ 183) на должность руководителя танкового КБ-190.
В ноябре 1937 г., менее чем за год работы М.И.Кошкина в должности главного конструктора, под его руководством была успешно завершена модернизация танка БТ-7.
28.04.1938 г. добивается разрешения изготовить и испытать наряду с колёсно-гусеничным А-20 (как и предполагалось изначальным заданием), чисто гусеничный танк, получивший индекс А-32.
19.12.1939 г. А-32 с толщиной брони 45 мм, названный танком Т-34, был принят на вооружение РККА.
В марте 1940 г. принял личное участие в проведении войсковых испытаний двух опытных танков Т-34 с совершением пробега Харьков-Москва и обратно.
750 км от Харькова до Москвы и обратно ещё недоработанные танки прошли своим ходом в трудных условиях бездорожья и снежных заносов.
Пробег подорвал здоровье Кошкина, ему пришлось удалить одно лёгкое. Он был направлен на лечение в заводской санаторий «Занки» под Харьковом, где скончался 26 сентября 1940 г.
Михаил Кошкин был похоронен в Харькове на Первом городском кладбище (ныне Молодёжный парк).
До сегодняшнего дня могила не сохранилась.